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1、人類對數(shù)的認識經(jīng)歷了一個不斷深化的過程，在這一過程中數(shù)的概念進行了多次擴充與發(fā)展。

【資料圖】

2、其中無理數(shù)的引入在數(shù)學上更具有特別重要的意義，它在西方數(shù)學史上曾導致了一場大的風波，史稱“第一次數(shù)學危機”。

3、如果追溯這一危機的來龍去脈，那么就需要我們把目光投向公元前6世紀的古希臘。

4、那時，在數(shù)學界占統(tǒng)治地位的是畢達哥拉斯學派。

5、這一學派的創(chuàng)立者畢達哥拉斯是著名的哲學家、數(shù)學家。

6、他在哲學上提出“萬物皆數(shù)”的論斷，并認為宇宙的本質(zhì)在于“數(shù)的和諧”。

7、他所謂“數(shù)的和諧”是指：一切事物和現(xiàn)象都可以歸結(jié)為整數(shù)與整數(shù)的比。

8、與此相對應，在數(shù)學中他提出任意兩條線段的比都可表為整數(shù)或整數(shù)的比，用他的話說就是：任意兩條線段都是可通約的。

9、他在數(shù)學上最重要的功績是提出并證明了畢達哥拉斯定理，即我們所說的勾股定理。

10、然而深具諷刺意味的是，正是他在數(shù)學上的這一最重要發(fā)現(xiàn)，卻把他推向了兩難的尷尬境地。

11、他的一個學生希帕索斯在擺弄老師的著名成果畢達哥拉斯定理時，提出了這樣一個問題：正方形的對角線與邊長這兩條線段是不是可通約的呢？換句話說，兩者的比是不是有理數(shù)呢？經(jīng)過認真的思考，他發(fā)現(xiàn)這個數(shù)既不是整數(shù)，也不是一個分數(shù)，而是一個全新的數(shù)，我們現(xiàn)在知道這個數(shù)是 。

12、這是人類歷史上誕生的第一個無理數(shù)。

13、它的誕生是人類對數(shù)認識的一次重大飛躍，是數(shù)學史上的偉大發(fā)現(xiàn)。

14、然而作為老師的畢達哥拉斯并沒有為這一重大發(fā)現(xiàn)而歡欣鼓舞，相反他陷入極度不安之中。

15、如果不贊同它，理智上無法接受，學生的論斷畢竟是找不出毛病的呀！可是如果贊同，感情上更難接受。

16、因為這一發(fā)現(xiàn)對他來說是致命的，它將完全推翻他自己的數(shù)學與哲學信條。

17、于是這就導致了“畢達哥拉斯的兩難”。

18、在這兩難處境下，他先是在學派內(nèi)封鎖這一發(fā)現(xiàn)，不讓它傳到外界。

19、后來當希帕索斯本人把發(fā)現(xiàn)泄漏后，他讓學派內(nèi)的成員把希帕索斯拋入了大海。

20、這就是聰明的學生從偉大的老師那里獲得的“獎賞”！被后人尊為“智慧之神”的畢達哥拉斯不是有勇氣承認自己的錯誤，而是想通過暴力壓制真理，這一作法令他一生蒙羞，成為他一生中的最大污點。

21、然而真理畢竟是撲不滅的，希帕索斯所提出的問題（史稱“希帕索斯悖論”或“畢達哥拉斯悖論”）也沒有隨同主人一起拋入大海，而是在社會上流傳開來。

22、其實，這一悖論的提出不但對畢達哥拉斯學派是致命的，它對當時所有人的觀念都是一個極大的沖擊。

23、當時人們根據(jù)經(jīng)驗完全確信：一切量都可以用有理數(shù)表示。

24、即便是在現(xiàn)在測量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展后，任何量在任何精確度范圍內(nèi)都可以表成有理數(shù)不仍是正確的嗎？然而這一完全符合常識的論斷居然被 的存在而推翻了！這是多么違反常識、多么荒謬的事呀！更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。

25、這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而產(chǎn)生了數(shù)學上的第一次危機。

26、直到二百年后，數(shù)學家歐多克索斯建立了一套完整的比例論，使比例論不僅適用于可通約線段，也適用于不可通約線段，才用幾何方法把由于無理數(shù)的出現(xiàn)而引起的數(shù)學危機解決了。

27、這次數(shù)學危機對希臘數(shù)學產(chǎn)生了決定性的影響。

28、首先，希臘人得出直覺、經(jīng)驗都不是絕對可靠的，推理論明才是可靠的，因而希臘人此后更加重視邏輯，并在亞里士多德手中完成了古典邏輯學。

29、其次，由于整數(shù)及其比不能包括一切幾何量，但幾何量卻可以表示一切數(shù)，因此希臘人認為幾何較之算術(shù)占著更重要的地位。

30、在其后的希臘數(shù)學中，這種幾何對算術(shù)的優(yōu)勢支配了希臘數(shù)學一千年。

31、希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導致了第一次數(shù)學危機，然而為了解決這一危機，卻又導致了古希臘古典邏輯學與公理幾何學的誕生。

32、這恐怕正是這一事件給予我們的一大啟示：提出似乎無法解答的問題并不可怕，相反，這種問題的提出往往會成為數(shù)學發(fā)展中的強大推動力，使數(shù)學在對問題的克服中向前大步邁進，這在數(shù)學發(fā)展史上實在是不鮮見的。